Las piedras de Lipsi - 1a parte

Mil felicidades a Andrés, que ha tenido aportado la demostración empírica de que es posible hacer el puente con menos de 30 piedras ...


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Las piedras de Lipsi - 2a parte (* * * * *)

El problema se resuelve construyendo una columna de losas.

Imaginemos que colocamos una piedra sobre la orilla de Lipsi. Esta piedra sólo podría sobresalir 5 Km de la orilla, o caería, puesto que su Centro de Gravedad se encuentra a 5 Km de su lado izquierdo (1/2 de la piedra).

Supongamos que, bajo dicha piedra (que sobresale 5 Km) colocamos una piedra debajo. Si se calcula el nuevo Centro de Gravedad, éste está a 2,5 Km del lado izquierdo de la segunda losa (1/4 de la piedra).

Es decir, tendríamos una construcción de una losa que sobresale 5 Km sobre una segunda losa que sobresale 2,5 Km de la orilla.

Si hiciéramos el mismo ejercicio con una tercera losa, el Centro de Gravedad quedaría a 1,666 Km de su lado izquierdo (1/6 de la piedra).

Si realizamos sucesivamente este ejercicio, nos daremos cuenta que siempre se pueden ir colocando losas debajo, siempre y cuando cada vez sobresalgan menos, siguiendo la progresión: 1/2 de la piedra,1/4, 1/6, 1/8, 1/10, …

Con 226 piedras, habréis llegado al otro lado:

Si os fijáis, la succesión que forma el pilar (1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10...) es la mitad de la Serie armónica (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...). Esta serie tiene múltiples propiedades, y ha sido objeto de estudio de muchos matemáticos de la época.

Como mayor curiosidad, y, aunque parezca mentira, la suma de la serie tiende a infinito. Es decir, Hércules podría hacer un pilar con losas de 10 Km que sobresaliera tan lejos como se quisiera. si Afrodita se lo pidiera, podría hacer un pente que recorriera los 6.304 Km de distancia que hay entre Philadelphia y Barcelona (ver aquí). Lo que pasa es que en ese caso, Hércules debería construir el pilar durante el día, porque necesitaría tantas piedras (unas 773.000) que por la noche la luna, al pasar, le tumbaría el pilar (su distancia a la tierra es de 384.400 Km).

Pero una Afrodita bien vale el esfuerzo, ¿verdad?

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Centro de Gravedad - Con saber esto os basta ...

De manera "coloquial", digamos que el Centro de Gravedad (CdG) es el punto "más en el centro" de un objeto. Los físicos lo usan para entender cómo actuaría la fuerza de gravedad en él.

Por ejemplo: Las losas de Hércules son de 10 Kms de largo por 2 de alto. En este caso, su CdG está a 5 Kms del lado y 1 Km de la base:

El CdG de varios objetos se puede "promediar". Por ejemplo, si miramos la siguiente construcción hecha con 2 losas, el CdG del conjunto está situado:

• A 3 Kms del lado izquierdo, que es la media de un CdG que está a 1 Km y otro a 5 Km
• A 3,5 Kms de la base, que es la media de un CdG que está a 1 Km y el otro a 6 Kms
  

Para que una construcción de losas apiladas no se caiga, el CdG debe quedar dentro de la base. Por ejemplo, si la anterior construcción sobresaliera más de 3 Kms de la orilla de Lipsi (como en el siguiente esquema) no sería estable y se caería al mar.

¡Con esto os basta para empezar a construir e intentar llegar a Patmos!

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El gusano del cubo

Agrupemos los 27 cubos pequeños en 2 grupos, los verdes y los rojos:

Es fácilmente comprobable que el gusano, por narices, pasará alternativamente por un cubo verde- cubo rojo -cubo verde - cubo rojo, ... tome el camino que tome. En 2 dimensiones se ve más claro:

Por tanto, puesto que hay 27 cubos, que es un número impar, forzosamente, el último cubo que recorra el gusano será del mismo color que el primer cubo que royó. Puesto que el cubo central es rojo, deberá empezar por un cubo exterior que no sea ni un centro de cara ni una esquina.

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Entonces ... ¡Tal como está enunciado el problema no puede resolverse! (Esa era la pequeña trampa).

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Romeo y Julieta

Como decía en el enunciado del juego de ingenio, este problema se puede resolver con "matemática profunda". La gracia, pero, es resolverlo usando un poco de lógica pura, y bastante de pensamiento lateral. En concreto, se puede resolver pintando un cuadro (como decía teiraClon, y me preguntaba Sable):
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La zona azul es la combinación de horas de llegada de Romeo y Julieta que permite que se encuentren. Es decir, si Romeo llega a las 17:00 h, Julieta puede llegar entre las 17:00 h y las 17:15 h. Etc ...

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Por tanto es fácil deducir que la probabilidad de que los enamorados se encuentren es 5 / 9 = 55,5%. Es decir, ... ¡más de la mitad!

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Los triángulos griegos

Hay muchas soluciones a este enigma, y quizás la que propone Sable es un poco más elegante que esta ... En fin, ós añado el esquema que me hice yo para resolverlo ...:

Con este esquema se ve claramente que el ángulo α (color verde) + el ángulo β (color rojo) suman 45º.

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RETO 5 ESTRELLAS: Los triángulos del pentáculo

Aquí os dejo el dibujo:
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